Бабушкин – уроженец города Павлово, земляк своего нового одноклубника Никиты Михайловского. В сезоне-2013/14 Алексей завоевал серебряные медали Единой молодежной Лиги ВТБ с люберецким «Триумфом-2», а также был признан MVP чемпионата в апреле. Летом 2014 г. он дебютировал в составе молодежной сборной на Первенстве Европы U20 в Греции, а также стал победителем престижного Кубка Станковича в Китае в составе резервной сборной страны. После распада «Триумфа» форвард подписал контракт с питерским «Зенитом», за который провел 4 матча в Единой Лиге ВТБ и 3 – в Еврокубке. В сезоне-2015/16, выступая на правах аренды за ревдинский «Темп-СУМЗ-УГМК», новичок «Автодора» стал вице-чемпионом Суперлиги-1 и бронзовым призером Кубка России. Также на протяжении карьеры Бабушкин защищал цвета клубов «Спарта и К» (Видное), «Россия» (экспериментальная сборная в Суперлиге-1) и «Иркут» (Иркутск), сообщает БК  «Автодор».

Владимир Родионов, Президент «Автодора»: 
«Бабушкин хорошо зарекомендовал себя в Суперлиге и находится в самом расцвете лет. Третий номер, обладающий хорошими баскетбольными данными, огромным размахом рук. Уверен, Алексей созрел для перехода на более высокий уровень и сумеет показать себя в «Автодоре» достойным, надежным игроком. Бабушкин – один из лучших в Суперлиге по действиям в защите, что позволит ему без труда вписаться в систему игры Евгения Пашутина. Важно, что он амбициозен, готов работать и прогрессировать, а в нашем клубе мы создаем для таких целеустремленных ребят все условия». 

Алексей Бабушкин, Форвард «Автодора»: 
«Я счастлив оказаться в «Автодоре». Всячески стремился попасть в Лигу ВТБ, долго шел к этому. Очень благодарен саратовскому клубу за то, что дает мне шанс попробовать силы в более высокой лиге. Сделаю все, чтобы продолжать прогрессировать и приносить команде пользу на новом для себя уровне».